【整理】全ての対称式が基本対称式の形だけで記述出来る証明
調べた事を整理します。1番納得出来る答えはWikipediaでした。
対称式とは
x^2+y^2 や a(b^2)+(a^2)bのように変数の位置を他の変数の位置と入れ替えても形が変わらない式の事を指します。
x^2+y^2+z^2のように3変数以上でも変数入れ替えにより形が変わらなければ対称式になります。
基本対称式とは
x^2+y^2のように2変数から構成される対称式であれば、基本対称式はx+y, xyの2つを指します。3変数であれば、x+y+z, xy+yz+zx, xyzの3つが基本対称式です。
対称式の特徴
タイトルにもありますが、全ての対称式は基本対称式だけで記述可能です。x^2+y^2 であれば、(x+y)^2-2xyと表せます。x^2+y^2+z^2であれば、(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)です。とても美しい定理ですよね。
証明方法
シンプルで美しい定理ですが証明は本当に難しいです。ググってみると、やんわりな雰囲気証明だったり、不完全な証明だったり、なかなか良い証明に出会えませんでした。
Wikipediaの説明
参考リンク
最終的にはWikipediaの説明が落としどころになりました(ウェアリングの方法)。対称式に対して、次元を落とすような適切な基本対称式の組み合わせで引き算を続ける事は可能だと言う事の証明です。
誰でも分かるような、丁寧な証明があったら、またご紹介したいと思います。