「解と係数の関係」って何の役に立つの？
数学で「解と係数の関係」なるものを習いました。これは世の中の役に立つものなのか？ただの授業で意味もなく覚えさせられ、受験でテクニックを使うべき問題をあてがわれて、仕方なく受験のためだけに使う定理なのか、疑問が湧いてきました。
解と係数の関係とは
ax^2+bx+c=0の解をα,βとすると、
α+β=-b/a, αβ=c/aとなる
証明
解の公式使って、ゴリゴリ出しても求められます。因数定理を使うとより楽に求められます。
因数定理より
ax^2+bx+c
=α(x-α)(x-β)
=ax^2-a(α+β)x+a(αβ)
係数比較して、
b= -a(α+β) → α+β=-b/a
c=a(αβ) → αβ=c/a
対称式と仲良し
α+β、αβが基本対称式の形なので、よく対称式絡みの問題が出てきます。
「x^2+3x-4=0 の解をα, βとしたとき、α^3+β^3の値を求めよ」的な問題ですね。
解いてみると、α^3+β^3が対称式なので、基本対称式の形に直します。
α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)
解と係数の関係より、
α+β=-3, αβ=-4
これを代入して、
α^3+β^3
=(-3)^3-3(-4)(-3)
=-27-36=-63
良問がない
対称式以外で解と係数の関係ありがたし！な応用問題、すぐに出てこないんですよね。あるはずなんですが、見つけたら追記します。
結局当初の疑問は対象式くらいしか役に立たない(対象式だけでも十分なのかもですが)ということになります。